题目
题型:不详难度:来源:
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若函数在区间上为减函数,求实数的取值范围;
(3)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
答案
解析
试题分析:(1)将代入函数解析式,直接利用导数求出函数的单调递增区间和递减区间;(2)将条件“在区间上为减函数”等价转化为“不等式在区间上恒成立”,结合参数分离法进行求解;(3)构造新函数,将“不等式在区间上恒成立”等价转化为“”,利用导数结合函数单调性围绕进行求解,从而求出实数的取值范围.
试题解析:(1)当时,,
,
解得;解得,
故的单调递增区间是,单调递减区间是;
(2)因为函数在区间上为减函数,
所以对恒成立,
即对恒成立,;
(3)因为当时,不等式恒成立,
即恒成立,设,
只需即可
由,
①当时,,
当时,,函数在上单调递减,故成立;
②当时,令,因为,所以解得,
(i)当,即时,在区间上,
则函数在上单调递增,故在上无最大值,不合题设;
(ii)当时,即时,在区间上;在区间上.
函数在上单调递减,在区间单调递增,同样在无最大值,不满足条件;
③当时,由,故,,
故函数在上单调递减,故成立
综上所述,实数的取值范围是.
核心考点
举一反三
(1)求的极值点;
(2)对任意的,记在上的最小值为,求的最小值.
(1)当时,求函数的单调减区间;
(2)设函数的导函数为,若存在唯一的实数,使得与同时成立,求实数的取值范围;
(3)已知点为曲线上的动点,在点处作曲线的切线与曲线交于另一点,在点处作曲线的切线,设切线的斜率分别为.问:是否存在常数,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)当时,求函数的极小值;
(Ⅱ)若函数在上为增函数,求的取值范围.
(Ⅰ)若,求的值,并求此时曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求函数在区间上的最小值.
(Ⅰ)当时,求的最小值;
(Ⅱ)若在区间上是单调函数,求的取值范围.
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