题目

题型：不详难度：来源：

已知函数，（其中为常数）；
（Ⅰ）如果函数和有相同的极值点，求的值；
（Ⅱ）设，问是否存在，使得，若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）记函数，若函数有5个不同的零点，求实数的取值范围．

答案

（Ⅰ）或（Ⅱ）（Ⅲ）

解析

试题分析：（1）对函数f（x）求导可得，由，可得得或，而在处有极大值，从而可得a；（2）假设存在，即存在x∈(−1，)，使得f（x）-g（x）＞0，由x∈(−1，)，及a＞0，可得x-a＜0，则存在x∈(−1，)，使得，结合二次函数的性质求解；（3）据题意有f（x）-1=0有3个不同的实根，g（x）-1=0有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等．g（x）-1=0有2个不同的实根，只需满足⇒a＞1或a＜−3；有3个不同的实根，从而结合导数进行求解.
试题解析：（Ⅰ），则，
令，得或，而在处有极大值，∴，或；综上：或．               （3分）
（Ⅱ）假设存在，即存在，使得
，
当时，又，故，则存在，使得， （4分）
当即时，得，；      （5分）
当即时，得，  （6分）
无解；综上：．                                   （7分）
（Ⅲ）据题意有有3个不同的实根，有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等．
（ⅰ）有2个不同的实根，只需满足；   （8分）
（ⅱ）有3个不同的实根，
当即时，在处取得极大值，而，不符合题意，舍；    （9分）
当即时，不符合题意，舍；
当即时，在处取得极大值，；所以；  （10分）
因为（ⅰ）（ⅱ）要同时满足，故；（注：也对）      （11分）
下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在使得和同时成立；
若存在使得，
由，即，得，
当时，，不符合，舍去；
当时，既有  ①；
又由，即 ②；   联立①②式，可得；
而当时，没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等．
综上，当时，函数有5个不同的零点．          （14分）