题目
题型:不详难度:来源:
(2)证明:<ln<,其中0<a<b;
(3)设[x]表示不超过x的最大整数,证明:[ln(1+n)]≤[1++ +]≤1+[lnn](n∈N*).
答案
解析
试题分析:(1)根据题意,其实是求实数t的取值范围使函数的最小值小于零,结合函数的解析式的特点,应利导数工具,研究函数的单调性和极(最)值问题.(2)要证,即证:,只要证:,因为,所以, ,因此可构造函数,利用导数探究其在符号即可.类似的方法可证明,必要时可借用(1)的结论.
(3)根据的定义,
要证
只需证:
由(2),若令,则有
当分别取时有:
上述同向不等式两边相加可得:,类似地可证另一部分.
试题解析:(1)若t<0,令x=,则f()=e-1-1<0;
若t=0,f(x)=ex-1>0,不合题意;
若t>0,只需f(x)min≤0.
求导数,得f′(x)=ex-1-t.
令f′(x)=0,解得x=lnt+1.
当x<lnt+1时,f′(x)<0,∴f(x)在(-∞,lnt+1)上是减函数;
当x>lnt+1时,f′(x)>0,∴f(x)在(lnt+1,+∞)上是增函数.
故f(x)在x=lnt+1处取得最小值f(lnt+1)=t-t(lnt+1)=-tlnt.
∴-tlnt≤0,由t>0,得lnt≥0,∴t≥1.
综上可知,实数t的取值范围为(-∞,0)∪[1,+∞). 4分
(2)由(1),知f(x)≥f(lnt+1),即ex-1-tx≥-tlnt.
取t=1,ex-1-x≥0,即x≤ex-1.
当x>0时,lnx≤x-1,当且仅当x=1时,等号成立,
故当x>0且x≠1时,有lnx<x-1.
令x=,得ln<-1(0<a<b),即ln<.
令x=,得ln<-1(0<a<b),即-ln<,亦即ln>.
综上,得<ln<. 9分
(3)由(2),得<ln<.
令a=k,b=k+1(k∈N*),得<ln<.
对于ln<,分别取k=1,2, ,n,
将上述n个不等式依次相加,得
ln+ln+ +ln<1++ +,
∴ln(1+n)<1++ +. ①
对于<ln,分别取k=1,2, ,n-1,
将上述n-1个不等式依次相加,得
++ +<ln+ln+ +ln,即++ +<lnn(n≥2),
∴1++ +≤1+lnn(n∈N*). ②
综合①②,得ln(1+n)<1++ +≤1+lnn.
易知,当p<q时,[p]≤[q],
∴[ln(1+n)]≤[1++ +]≤[1+lnn](n∈N*).
又∵[1+lnn]=1+[lnn],
∴[ln(1+n)]≤[1++ +]≤1+[lnn](n∈N*). 14分
核心考点
试题【(1)已知函数f(x)=ex-1-tx,∃x0∈R,使f(x0)≤0,求实数t的取值范围;(2)证明:<ln<,其中0<a<b;(3)设[x]表示不超过x的最大】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求的最小值;
(2)设,.
(ⅰ)证明:当时,的图象与的图象有唯一的公共点;
(ⅱ)若当时,的图象恒在的图象的上方,求实数的取值范围.
A. | B.5 | C.4 | D.3 |
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)当时,若恒成立,求的取值范围.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求f(x)在区间[t,t+2](t>0)上的最小值;
(3)对一切的x∈(0,+∞),2f(x)<g′(x)+2恒成立,求实数a的取值范围.
最新试题
- 1计算:
- 2选出成语书写有误的一项是( )(3分)A.因地制宜别具匠心水涨船高首曲一指B.高不可攀先发制人轻举妄动摇身一变
- 3阅读下面的材料,根据要求写一篇不少于800字的文章。 有一次,夜莺发现了一棵开满鲜花的矮树丛,于是决定蹲在上面等待果实
- 4下列四组词语中有两个错别字的一组是 A.名僵利锁嗫嚅万弩齐发驽钝B.磨穿铁砚木呐覆盆之冤告罄C.顶礼谟拜讴歌明正典型纲纪
- 5Helen has two sisters and a brother.Her brother is working,
- 6.下列加点字注音全正确的一项是( )A.登载(zǎi)书籍(jí)拓片(tuò)惴惴(zhuì)B.不屑(x
- 7现有物质:氢气、水、铁丝、氧气、硫磺、高锰酸钾,从中选出物质,各写出一个符合下列要求的化学方程式:(1)物质燃烧生成黑色
- 8方程的解是________________.
- 9以“城市,让生活更美好”为主题的上海世博会20l0年5月1日正式开幕.世界博览会是由一个国家的政府主办,有多个国家或国际
- 10已知实数成等比数列,且对函数,当时取到极大值,则等于 ( )A.B.0C.1D.2
热门考点
- 1From his _______look, I could see that he didn’t believe wha
- 2读“洋流分布示意图”,分析回答下列问题。 (8分)(1)在图中四条线段上添画箭头,表示大洋环流的流向。(2分)(2)图中
- 3括号内单词的适当形式填空。1. What____he_____(do) now?2. Tom likes______(r
- 4按照新《中华人民共和国公司法》的规定:有限责任公司,注册资本最低限额由原来的10万元降至3万元;股份制有限公司的最低注册
- 5设函数f(x)=x+ax+b(a>b>0),求f(x)的单调区间,并证明f(x)在其单调区间上的单调性.
- 6读“经纬网示意图”,回答下列问题:(16分)(1)写出A、B、C、D四点的经纬度:A 、B
- 7“感动中国2012年度人物评选”于2013年2月19日揭晓:在南海默默守礁20年的海军气象工程师李文波,为救出学生失去双
- 8如图所示,已知圆C:(x+1)2+y2=8,定点A(1,0),M为圆C上一动点,点P在线段AM上,点N在线段CM上,且满
- 9美国麦迪逊曾说:“共和国无论多小,为了防止少数人结党营私,代表必须达到一定数目,同时共和国无论多大,为了防止人数过多的混
- 10已知变量x,y满足约束条件,则目标函数z="2x" +y的最大值是( ).A.-4B.0C.2D.4