题目

题型：不详难度：来源：

已知函数
（1）求的最小值；
（2）设，．
（ⅰ）证明：当时，的图象与的图象有唯一的公共点；
（ⅱ）若当时，的图象恒在的图象的上方，求实数的取值范围．

答案

（1）0；（2）（ⅱ）

解析

试题分析：（1）先求的导数，利用求出的单调区间，从而判断出函数在何处取得最小值以及最小值是多少.（2）（ⅰ）当时，的图象与的图象交点的个数等于函数的零点的个数；可利用导数探究函数的单调性，作函数有一零的证据之一；（ⅱ）当时，的图象恒在的图象上方，等价于在上恒成立，利用的导数研究其单调性，注意参变量，对函数单调性及最值的影响，适时进行分类讨论.
试题解析：（1）求导数，得f ′(x)＝e^x－1．
令f ′(x)＝0，解得x＝0．
当x＜0时，f ′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，0)上是减函数；
当x＞0时，f ′(x)＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
故f(x)在x＝0处取得最小值f(0)＝0．                 4分
（2）设h(x)＝f(x)－g(x)＝e^x－1－x－ax²，则h′(x)＝e^x－1－2ax．[
（ⅰ）当a＝时，y＝e^x－1－x的图象与y＝ax²的图象公共点的个数等于
h(x)＝e^x－1－x－x²零点的个数．
∵h(0)＝1－1＝0，∴h(x)存在零点x＝0．
由（1），知e^x≥1＋x，∴h′(x)＝e^x－1－x≥0，
∴h(x)在R上是增函数，∴h(x)在R上有唯一的零点．
故当a＝时，y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有唯一的公共点．   9分
（ⅱ）当x＞0时，y＝f(x)的图象恒在y＝g(x)的图象的上方
⇔当x＞0时，f(x)＞g(x)，即h(x)＝e^x－1－x－ax²＞0恒成立．
由（1），知e^x≥1＋x（当且仅当x＝0时等号成立），
故当x＞0时，e^x＞1＋x．
h′(x)＝e^x－1－2ax＞1＋x－1－2ax＝(1－2a)x，
从而当1－2a≥0，即a≤时，h′(x)≥0（x＞0），
∴h(x)在(0，＋∞)上是增函数，又h(0)＝0，
于是当x＞0时，h(x)＞0．
由e^x＞1＋x（x≠0），可得e^－x＞1－x（x≠0），
从而当a＞时，h′(x)＝e^x－1－2ax＜e^x－1＋2a(e^－x－1)＝e^－x(e^x－1)(e^x－2a)，
故当x∈(0，ln2a)时，h′(x)＜0，
此时h(x)在(0，ln2a)上是减函数，又h(0)＝0，
于是当x∈(0，ln2a)时，h(x)＜0．
综上可知，实数a的取值范围为(－∞，]．           14分