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题目
题型:不详难度:来源:
已知函数
(1)求的最小值;
(2)设
(ⅰ)证明:当时,的图象与的图象有唯一的公共点;
(ⅱ)若当时,的图象恒在的图象的上方,求实数的取值范围.
答案
(1)0;(2)(ⅱ)
解析

试题分析:(1)先求的导数,利用求出的单调区间,从而判断出函数在何处取得最小值以及最小值是多少.(2)(ⅰ)当时,的图象与的图象交点的个数等于函数的零点的个数;可利用导数探究函数的单调性,作函数有一零的证据之一;(ⅱ)当时,的图象恒在的图象上方,等价于上恒成立,利用的导数研究其单调性,注意参变量,对函数单调性及最值的影响,适时进行分类讨论.
试题解析:(1)求导数,得f ′(x)=ex-1.
令f ′(x)=0,解得x=0.
当x<0时,f ′(x)<0,∴f(x)在(-∞,0)上是减函数;
当x>0时,f ′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.
故f(x)在x=0处取得最小值f(0)=0.                 4分
(2)设h(x)=f(x)-g(x)=ex-1-x-ax2,则h′(x)=ex-1-2ax.[
(ⅰ)当a=时,y=ex-1-x的图象与y=ax2的图象公共点的个数等于
h(x)=ex-1-x-x2零点的个数.
∵h(0)=1-1=0,∴h(x)存在零点x=0.
由(1),知ex≥1+x,∴h′(x)=ex-1-x≥0,
∴h(x)在R上是增函数,∴h(x)在R上有唯一的零点.
故当a=时,y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有唯一的公共点.   9分
(ⅱ)当x>0时,y=f(x)的图象恒在y=g(x)的图象的上方
⇔当x>0时,f(x)>g(x),即h(x)=ex-1-x-ax2>0恒成立.
由(1),知ex≥1+x(当且仅当x=0时等号成立),
故当x>0时,ex>1+x.
h′(x)=ex-1-2ax>1+x-1-2ax=(1-2a)x,
从而当1-2a≥0,即a≤时,h′(x)≥0(x>0),
∴h(x)在(0,+∞)上是增函数,又h(0)=0,
于是当x>0时,h(x)>0.
由ex>1+x(x≠0),可得ex>1-x(x≠0),
从而当a>时,h′(x)=ex-1-2ax<ex-1+2a(ex-1)=ex(ex-1)(ex-2a),
故当x∈(0,ln2a)时,h′(x)<0,
此时h(x)在(0,ln2a)上是减函数,又h(0)=0,
于是当x∈(0,ln2a)时,h(x)<0.
综上可知,实数a的取值范围为(-∞,].           14分
核心考点
试题【已知函数(1)求的最小值;(2)设,.(ⅰ)证明:当时,的图象与的图象有唯一的公共点;(ⅱ)若当时,的图象恒在的图象的上方,求实数的取值范围.】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数,求(   )
A.B.5C.4D.3

题型:不详难度:| 查看答案
设函数.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)当时,若恒成立,求的取值范围.
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已知函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5),则f′(0)=________.
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已知f(x)=xln xg(x)=x3ax2x+2.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求f(x)在区间[tt+2](t>0)上的最小值;
(3)对一切的x∈(0,+∞),2f(x)<g′(x)+2恒成立,求实数a的取值范围.
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已知函数f(x)=+ln x,若函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,则正实数a的取值范围是______.
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