题目
题型:不详难度:来源:
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)求f(x)在区间(0,e]上的最小值.
答案
当0<a<e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为ln a;
当a≥e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为.
解析
所以f′(x)=-+=,x∈(0,+∞).
因此f′(2)=.
即曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为.
又f(2)=ln 2-,
所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-= (x-2),
即x-4y+4ln 2-4=0.
(2)因为f(x)=+ln x-1,
x∈(0,+∞),
所以f′(x)=-+=.
令f′(x)=0,得x=a.
①若a≤0,则f′(x)>0,函数f(x)在区间(0,e]上单调递增,此时函数f(x)无最小值.
②若0<a<e,则当x∈(0,a)时,f′(x)<0,函数f(x)在区间(0,a)上单调递减;
当x∈(a,e]时,f′(x)>0,函数f(x)在区间(a,e]上单调递增,
所以当x=a时,函数f(x)取得最小值ln a.
③若a≥e,则当x∈(0,e]时,f′(x)≤0,函数f(x)在区间(0,e]上单调递减,
所以当x=e时,函数f(x)取得最小值.
综上可知,当a≤0时,函数f(x)在区间(0,e]上无最小值;
当0<a<e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为ln a;
当a≥e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为.
核心考点
试题【已知a∈R,函数f(x)=+ln x-1.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)求f(x)在区间(0,e]上的最小值.】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)当时,求函数的单调递增区间;
(2)记函数的图象为曲线,设点是曲线上的不同两点.如果在曲线上存在点,使得:①;②曲线在点处的切线平行于直线,则称函数存在“中值相依切线”,试问:函数是否存在“中值相依切线”,请说明理由.
(1)若,求函数的解析式;
(2)若,求的最大值。
A. | B. | C. | D. |
(1)若存在单调递减区间,求实数的取值范围;
(2)若,求证:当时,恒成立;
(3)设,证明:.
(1)求的值;
(2)已知实数t∈R,求的取值范围及函数的最小值;
(3)令,给定,对于两个大于1的正数,存在实数满足:,,并且使得不等式恒成立,求实数的取值范围.
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