题目
题型:不详难度:来源:
(1)求f(x)在x=1处的切线方程.
(2)若不等式f(x)≤0恒成立,求a的取值范围.
答案
解析
∴f"(1)=a+1,切点是(1,a+1),
所以切线方程为y-(a+1)=(a+1)(x-1),
即y=(a+1)x.
(2)方法一:∵x>0,f"(x)=.
①当a≥0时,x∈(0,+∞),f"(x)>0,f(x)单调递增,显然当x>1时,f(x)>0,f(x)≤0不恒成立.
②当a<0时,x∈(0,-),f"(x)>0,f(x)单调递增,
x∈(-,+∞),f"(x)<0,f(x)单调递减,
∴f(x)max=f(x)极大值=f(-)=ln(-)≤0,
∴a≤-1,
所以不等式f(x)≤0恒成立时,a的取值范围是(-∞,-1].
方法二:∵x>0,所以不等式f(x)≤0恒成立,等价于ax≤-lnx-1,即a≤,
令h(x)=,
则h"(x)=-+=,
当x∈(0,1)时,h"(x)<0,h(x)单调递减,
当x∈(1,+∞)时,h"(x)>0,h(x)单调递增.
∴h(x)min=h(x)极小值=h(1)=-1,∴a≤-1.
所以不等式f(x)≤0恒成立时,a的取值范围是(-∞,-1].
核心考点
举一反三
(1)求函数f(x)的单调区间.
(2)求函数f(x)在区间[-3,2]上的最值.
已知每日的利润y=R-C,且当x=30时,y=-100.
(1)求a的值.
(2)求当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大,并求出最大值.
(1)当a=-3时,求函数f(x)的极值.
(2)若函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点,求a的取值范围.
(1)证明:不等式f(x)≤g(x)对一切x∈(-1,+∞)恒成立;
(2)设-1<x1<x2,当x∈(x1,x2)时,证明:.
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