题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=ax--3ln x,其中a为常数.
(1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时,求函数f(x)在上的最小值;
(2)若函数f(x)在区间(0,+∞)上既有极大值又有极小值,求a的取值范围;
(3)在(1)的条件下,过点P(1,-4)作函数F(x)=x²[f(x)+3lnx-3]图象的切线,试问这样的切线有几条?并求出这些切线方程.

答案

(1) 1-3ln 2   (2) 0<a<    (3) 满足条件的切线只有一条,其方程为5x+y-1=0.

解析

解:(1)由题可知f′=1,解得a=1,
故f(x)=x--3ln x,∴f′(x)=,
由f′(x)=0得x=2或x=1.
于是可得x∈的下表:

		2	(2,3]
f′(x)	-	0	+
f(x)	↘	1-3ln 2	↗

于是可得f(x)_min="f(2)=1-3ln" 2.
(2)∵f′(x)=a+-= (x>0),
由题可得方程ax²-3x+2=0有两个不等的正实根,不妨设这两个根为x₁、x₂,
则
解得0<a<.
(3)由(1)f(x)=x--3ln x,
故F(x)=x³-3x²-2x(x>0),F′(x)=3x²-6x-2(x>0).
设切点为T(x₀,y₀),由于点P在函数F(x)的图象上,
①当切点T不与点P(1,-4)重合,即当x₀≠1时,由于切线过点P(1,-4),则=3-6x₀-2,
所以-3-2x₀+4=(x₀-1)(3-6x₀-2),
化简得-3+3x₀-1=0,即(x₀-1)³=0,
解得x₀=1(舍去).
②当切点T与点P(1,-4)重合,即x₀=1时,
则切线的斜率k=F′(1)=-5,
于是切线方程为5x+y-1=0.
综上所述,满足条件的切线只有一条,
其方程为5x+y-1=0.