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题目
题型:不详难度:来源:
设函数上的最大值为).
(1)求数列的通项公式;
(2)求证:对任何正整数n (n≥2),都有成立;
(3)设数列的前n项和为Sn,求证:对任意正整数n,都有成立.
答案
(1);(2)详见解析;(3)详见解析.
解析

试题分析:(1)先求得,令,得,因为要考虑根与定义域的位置关系,故需讨论n的取值.当时,,此时,函数单调递减;当时,,将定义域分段,并考虑导函数符号,划分单调区间,判断函数大致图象,进而求最大值,从而求得;(2)由(1)得,将所求证不等式等价变形为,,再利用二项式定理证明;(3)由(2)得,,再将不等式放缩为可求和的数列问题处理.
(1)

时,由,         
时,则时,上单调递减,
所以
时,时,时,
处取得最大值,即
综上所述,.
(2)当时,要证,只需证明


,所以,当时,都有成立.
(3)当时,结论显然成立;
时,由(II)知



所以,对任意正整数,都有成立.                    13分
核心考点
试题【设函数在上的最大值为().(1)求数列的通项公式;(2)求证:对任何正整数n (n≥2),都有成立;(3)设数列的前n项和为Sn,求证:对任意正整数n,都有成立】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)当时,函数图象上的点都在所表示的平面区域内,不等式恒成立,求实数的取值范围.   
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已知函数.
(1)已知区间是不等式的解集的子集,求的取值范围;
(2)已知函数,在函数图像上任取两点,若存在使得恒成立,求的最大值.
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已知,当时,      ; 当时,        .
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设函数.
(1)当时,求函数在区间内的最大值;
(2)当时,方程有唯一实数解,求正数的值.
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已知函数.
(1)证明:
(2)证明:.
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