题目
题型:不详难度:来源:
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)当时,函数图象上的点都在所表示的平面区域内,不等式恒成立,求实数的取值范围.
答案
解析
试题分析:(1)先求,解不等式,并和定义域求交集,得单调递增区间;解不等式,并和定义域求交集,得单调递减区间;(2)构造函数
,由题意得,,求,并解的根,讨论根与定义域的位置关系,若根在定义域外,则函数单调,利用单调性求函数的最大值;若根是内点,则将定义域分段,分别考虑导函数符号,判断函数的大致图象,并求最大值.
(1)当时,,
,由,得;由,得,故函数的单调递增区间为;递减区间为.
(2)因为函数图像上的点都在所表示的平面区域内,则当时,不等式恒成立,即恒成立,设,只需即可.由
,
(ⅰ)当时,,故,则函数在上单调递减,故成立,(ⅱ)当时,令,得,①若,即,函数在区间单调递增,时,,此时不满足条件,②若,即时,则函数在上单调递减,在区间单调递增,故当时,,此时不满足条件,
当是,由,因为,所以,所以,故函数在上单调递减,故成立.
综上所述,实数a的取值范围是.
核心考点
举一反三
(1)已知区间是不等式的解集的子集,求的取值范围;
(2)已知函数,在函数图像上任取两点、,若存在使得恒成立,求的最大值.
(1)当时,求函数在区间内的最大值;
(2)当时,方程有唯一实数解,求正数的值.
(1)证明:;
(2)证明:.
(1)若,求的单调区间;
(2)若当时,,求a的取值范围。
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