题目

题型：北京期末题难度：来源：

已知函数，其中a＞0，
(1)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线y=1平行，求a的值；
(2)求函数f(x)在区间[1，2]上的最小值．

答案

解：，
(1)由题意可得f′(1)=2(1-a³)=0，解得a=1，
此时f(1)=4，在点(1，f(1))处的切线为y=4，与直线y=1平行，
故所求的a值为1；
(2)由f′(x)=0可得x=a，a＞0，
①当0＜a≤1时，f′(x)＞0在(1，2]上恒成立，
所以y=f(x)在[1，2]上递增，所以f(x)在[1，2]上的最小值为f(1)=2a³+2；
②当1＜a＜2时，

由上表可得y=f(x)在[1，2]上的最小值为f(a)=3a²+1；
③当a≥2时，f′(x)＜0在[1，2)上恒成立，
所以y=f(x)在[1，2]上递减，所以f(x)在[1，2]上的最小值为f(2)=a³+5；
综上讨论，可知：
当0＜a≤1时，y=f(x)在[1，2]上的最小值为f(1)=2a³+2；
当1＜a＜2时，y=f(x)在[1，2]上的最小值为f(a)=3a²+1；
当a≥2时，y=f(x)在[1，2]上的最小值为f(2)=a³+5。