题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)若函数f(x)的定义域为M,对任意[a,b]⊆M,存在x0∈[a,b],使等式f(b)-f(a)=(b-a)f′(x0)成立,求证:方程f(x)=x存在唯一的实数根α;
(Ⅱ) 求证:当x>α时,总有f(x)<x成立;
(Ⅲ)对任意x1、x2,若满足|x1-α|<2,|x2-α|<2,求证:|f(x1)-f(x2)|<4.
答案
于是在α与β间必存在c,α<c<β,
使得β-α=f(β)-f(α)=(β-α)f′(c)∴f′(c)=1,这与已知矛盾,∴方程f(x)=x存在唯一实数根α.
(II)令g(x)=x-f(x)
∴g′(x)=1-f′(x)>0
∴g(x)在定义域上为增函数
又g(α)=α-f(α)=0∴当x>α时,g(x)>g(α)=0
∴当x>α时,f(x)<x、
(III)不妨设x1<x2,∵0<f′(x)<1∴f(x)在定义域上为增函数
由(2)知x-f(x) 在定义域上为增函数、∴x1-f(x1)<x2-f(x2)
∴0<f(x2)-f(x1)<x2-x1
即|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|
∵|x2-x1|≤|x2-α|+|x1-α|<4
∴|f(x1)-f(x2)|<4.
核心考点
试题【已知函数f(x)的导数f′(x)满足0<f′(x)<1,常数α为方程f(x)=x的实数根.(Ⅰ)若函数f(x)的定义域为M,对任意[a,b]⊆M,存在x0∈[a】;主要考察你对导数的意义等知识点的理解。[详细]
举一反三
2 |
x |
π |
4 |
A.(2,-1) | B.(-1,2) |
C.(2,ln2-1)或(-1,2) | D.(2,ln2-1) |
(1)求曲线C上斜率最小的切线方程.
(2)过原点引曲线C的切线,求切线方程及其对应的切点坐标.
A.6 | B.18 | C.54 | D.81 |
A.30 | B.29 | C.28 | D.27 |
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