题目

题型：不详难度：来源：

 已知曲线y=x³+.
(1)求曲线在x=2处的切线方程；
（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.

答案

（1）4x-y-4=0（2）切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0

解析

 （1）∵y′=x²,
∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=y′|_x=2="4.                " 3分
∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),
即4x-y-4="0.                                              " 6分
（2）设曲线y=x³+与过点P（2，4）的切线相切于点
A(x₀，x₀³+)，则切线的斜率
k=y′|=x₀².                                            8分
∴切线方程为y-(x₀³+)=x₀²(x-x₀),
即y=x₀²·x-x₀³+.                                        10分
∵点P（2，4）在切线上，∴4=2x₀²-x₀³+,
即x₀³-3x₀²+4=0,∴x₀³+x₀²-4x₀²+4=0,
∴x₀² (x₀+1)-4(x₀+1)(x₀-1)=0,
∴(x₀+1)(x₀-2)²=0,解得x₀=-1或x₀=2,
故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2="0.                    " 14分