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题目
题型:不详难度:来源:
(本小题满分14分)已知函数,其中
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)当时,求的单调区间;
(Ⅲ)证明:对任意的在区间内均存在零点.
答案
解:(Ⅰ)当时,
,……………………2分
,
所以曲线在点处的切线方程为.        ……………4分
(Ⅱ),令,解得 ……………6分
因为,以下分两种情况讨论:      
(1)若变化时,的变化情况如下表:





+

+




   
所以,的单调递增区间是的单调递减区间是.………8分
(2)若,当变化时,的变化情况如下表:





+

+




   
所以,的单调递增区间是的单调递减区间是……………………………………………10分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当时,内的单调递减,在内单调递增,
以下分两种情况讨论:
(1)当时,在(0,1)内单调递减,
.
所以对任意在区间(0,1)内均存在零点.………………………12分
(2)当时,内单调递减,在内单调递增,
,
.  所以内存在零点.
.
,        所以内存在零点. …………………13分
所以,对任意在区间(0,1)内均存在零点.
综上,对任意在区间(0,1)内均存在零点.  …………………14分
解析

核心考点
试题【(本小题满分14分)已知函数,其中.(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)当时,求的单调区间;(Ⅲ)证明:对任意的在区间内均存在零点.】;主要考察你对导数的意义等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数,其中.
(Ⅰ) 求函数的极小值点;
(Ⅱ)若曲线在点处的切线都与轴垂直,问是否存在常数,使函数在区间上存在零点?如果存在,求的值:如果不存在,请说明理由.
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曲线在点处的切线方程为,则
A.B.C.D.

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(本题满分14分) 已知
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)若处有极值,求的单调递增区间;
(Ⅲ)是否存在实数,使在区间的最小值是3,若存在,求出的值;
若不存在,说明理由.
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(本大题满分14分)
已知函数 ,其中,b∈R且b≠0。
(1)求的单调区间;
(2)当b=1时,若方程没有实根,求a的取值范围;
(3)证明:,其中
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某工厂产生的废气经过过滤后排放,在过滤过程中,污染物的数量p(单位:毫克/升)不断减少,已知p与时间t(单位:小时)满足关系:,其中为t=0时的污染物数量,又测得当t=30时,污染物数量的变化率是,则p(60)=
A.150毫克/升B.300毫克/升
C.150ln2 毫克/升D.300ln2毫克/升

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