题目

题型：不详难度：来源：

已知函数，R.
（1）求函数的单调区间；
（2）是否存在实数，使得函数的极值大于？若存在，求的取值范围；若不存
在，说明理由.

答案

（1）当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间
为；当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间. （2）存在，范围为

解析

试题分析：（1）函数的定义域为，.  
① 当时，，∵ ∴，∴ 函数单调递增区间为 
② 当时，令得，即，.
（ⅰ）当，即时，得，故，
∴ 函数的单调递增区间为.                     
（ⅱ）当，即时，方程的两个实根分别为，.
若，则，此时，当时，.
∴函数的单调递增区间为，若，则，此时，当时，，当时， 
∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间
为；当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）由(1)得当时，函数在上单调递增，故函数无极值
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
∴有极大值，其值为，其中.
∵，即， ∴.
设函数，则，
∴在上为增函数，又，则，
∴.  
即，结合解得，∴实数的取值范围为.
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，突出分类讨论思想与转化思想的渗透与应用，属于难题，第二题把有正的极大值的问题转化为图象开口向下与X轴有两个交点，思路巧妙，学习中值得借鉴．