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题目
题型:不详难度:来源:
已知函数R.
(1)求函数的单调区间;
(2)是否存在实数,使得函数的极值大于?若存在,求的取值范围;若不存
在,说明理由.
答案
(1)当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间
;当时,函数的单调递增区间为,无单调递减区间. (2)存在,范围为
解析

试题分析:(1)函数的定义域为.  
① 当时,,∵ ∴,∴ 函数单调递增区间为 
② 当时,令,即.
(ⅰ)当,即时,得,故
∴ 函数的单调递增区间为.                     
(ⅱ)当,即时,方程的两个实根分别为.
,则,此时,当时,.
∴函数的单调递增区间为,若,则,此时,当时,,当时, 
∴函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
综上所述,当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间
;当时,函数的单调递增区间为,无单调递减区间.
(2)由(1)得当时,函数上单调递增,故函数无极值
时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为
有极大值,其值为,其中.
,即, ∴.
设函数,则
上为增函数,又,则
.  
,结合解得,∴实数的取值范围为.
点评:本题考查利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,突出分类讨论思想与转化思想的渗透与应用,属于难题,第二题把有正的极大值的问题转化为图象开口向下与X轴有两个交点,思路巧妙,学习中值得借鉴.
核心考点
试题【已知函数,R.(1)求函数的单调区间;(2)是否存在实数,使得函数的极值大于?若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由.】;主要考察你对导数的意义等知识点的理解。[详细]
举一反三
(本小题满分13分)
已知函数
(I)若曲线在点处的切线与直线垂直,求a的值;
(II)求函数的单调区间;
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其中,曲线在点处的切线垂直于轴.
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 求函数的极值.
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已知函数的图象C上存在一定点P满足:若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点M(x1, y1),N(x2, y2),就恒有的定值为y0,则y0的值为______.
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(本题满分14分)设函数,且的极值点.
(Ⅰ) 若的极大值点,求的单调区间(用表示);
(Ⅱ) 若恰有两解,求实数的取值范围.
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函数的导数是(  )
A.B.C.D.

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