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题目
题型:不详难度:来源:
已知函数
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)若函数在其定义域内为增函数,求正实数的取值范围;
(3)设函数,若在上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围.
答案
(1);(2);(3).
解析

试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力,考查学生的分类讨论思想、函数思想.第一问,对求导,将切点的横坐标代入得到切线的斜率,再将切点的横坐标代入到中,得到切点的纵坐标,利用点斜式得到切线的方程;第二问,在定义域内是增函数,只需恒成立,对求导,由于分母恒正,只需分子恒成立,设函数,利用抛物线的性质求出,令即可,解出P的值;第三问,先通过函数的单调性求出的值域,通过对P的讨论研究的单调性,求出的值域,看是否有值大于的最小值为2.
(1)当时,函数
,曲线在点处的切线的斜率为
从而曲线在点处的切线方程为,即.…4分
(2)
,要使在定义域内是增函数,只需内恒成立.
由题意的图象为开口向上的抛物线,对称轴方程为,∴,     只需,即时,
内为增函数,正实数的取值范围是.……9分
(3)∵上是减函数,
时,时,,即
①当时,,其图象为开口向下的抛物线,对称轴轴的左侧,且,所以内是减函数.
时,,因为,所以
此时,内是减函数.
故当时,上单调递减,不合题意;
②当时,由,所以
又由(2)知当时,上是增函数,
,不合题意;
③当时,由(2)知上是增函数,
上是减函数,故只需

,解得
所以实数的取值范围是.      14分
核心考点
试题【已知函数.(1)若,求曲线在点处的切线方程;(2)若函数在其定义域内为增函数,求正实数的取值范围;(3)设函数,若在上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围.】;主要考察你对导数的意义等知识点的理解。[详细]
举一反三
若曲线f(x)=,g(x)=xα在点P(1,1)处的切线分别为l1,l2,且l1⊥l2,则实数α的值为(  )
A.-2B.2C.D.-

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设曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+3=0垂直,则a=(  )
A.2B.-2C.D.-

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已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f′(x)<,则f(x)<的解集为(  )
A.{x|-1<x<1}B.{x|x<-1}
C.{x|x<-1或x>1}D.{x|x>1}

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定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x),已知f(x+1)是偶函数,(x-1)f′(x)<0.若x1<x2,且x1+x2>2,则f(x1)与f(x2)的大小关系是(  )
A.f(x1)<f(x2)B.f(x1)=f(x2)
C.f(x1)>f(x2)D.不确定

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如图,函数g(x)=f(x)+x2的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)=________.

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