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题目
题型:不详难度:来源:
已知a,b,x,y∈R,证明:(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2,并利用上述结论求(m2+4n2)(
1
m2
+
4
n2
)的最小值(其中m,n∈R且m≠0,n≠0).
答案
证明:∵b2x2+a2y2≥2abxy,
∴a2x2+b2y2+b2x2+a2y2≥a2x2+b2y2+2abxy,
即(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2成立.
由不等式(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2成立,
知(m2+4n2)(
1
m2
+
4
n2
≥(m×
1
m
+2n×
2
n
)2=25

当且仅当m2=n2时,等号成立,
即(m2+4n2)(
1
m2
+
4
n2
)的最小值为25.
核心考点
试题【已知a,b,x,y∈R,证明:(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2,并利用上述结论求(m2+4n2)(1m2+4n2)的最小值(其中m,n∈R且m≠0】;主要考察你对均值不等式等知识点的理解。[详细]
举一反三
设b>a>0,且P=


2
1
a2
+
1
b2
,Q=
2
1
a
+
1
b
,M=


ab
,N=
a+b
2
,R=


a2+b2
2
,则它们的大小关系是(  )
A.P<Q<M<N<RB.Q<P<M<N<RC.P<M<N<Q<RD.P<Q<M<R<N
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已知x>0,函数y=
4
x
+x
的最小值是(  )
A.5B.4C.8D.6
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已知a>0,b>0且
1
a
+
2
b
=1
,求:
(1)a+b的最小值;
(2)若直线l与x轴、y轴分别交于A(a,0)、B(0,b),求VABO(O为坐标原点)面积的最小值.
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已知x,y∈R+,x+y=
1
2
,则
1
x
+
4
y
的最小值______
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已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则(  )
A.ab≥
1
2
B.ab≤1C.a2+b2≤2D.a2+b2≥3
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