题目

题型：不详难度：来源：

已知m=

2

1 a + 1 b

，n=

a+b

2

（1）分别就

a=1 b=1

和

a=1 b=2

判断m与n的大小关系，并由此猜想对于任意的a，b∈R₊，m与n的大小关系及取得等号的条件；
（2）类比第（1）小题的猜想，得出关于任意的a，b，c∈R₊相应的猜想，并证明这个猜想．

答案

（1）当

a=1 b=1

时，m=n=1，当

a=1 b=2

时，m=

4

3

＜n=

3

2

，…（2分）
故由此可以猜想：
任意的a，b∈R₊，有m=

2

1 a + 1 b

≤n=

a+b

2

，当且仅当a=b时取得等号；…（4分）
（2）类比第（1）小题，对于任意的a，b，c∈R₊，
猜想：m=

3

1 a + 1 b + 1 c

≤n=

a+b+c

3

，当且仅当a=b=c时取得等号．…（5分）
证明如下：
对于a，b，c∈R₊，要证

3

1 a + 1 b + 1 c

≤

a+b+c

3

成立，
只需证：9≤(a+b+c)(

1

a

+

1

b

+

1

c

)…（7分）
即证：9≤3+

a

b

+

a

c

+

b

a

+

b

c

+

c

a

+

c

b

即证：6≤(

a

b

+

b

a

)+(

a

c

+

c

a

)+(

b

c

+

c

b

)（*）     …（9分）
∵对于a，b，c∈R₊，有

a

b

+

b

a

≥2

a b • b a

=2
同理：

a

c

+

c

a

≥2，

b

c

+

c

b

≥2…（11分）
∴不等式（*）成立．
要使（*）的等号成立，必须

b

a

=

a

b

且

c

a

=

a

c

且

b

c

=

c

b

，
故当a=b=c时等号成立．    　…（12分）
说明：采用其它方法作答的，只是逻辑严密，言之有理，可以根据作答情况酌情给分．