题目

题型：不详难度：来源：

已知x，y∈R，且x＞y＞e（其中e是自然对数的底数），试比较x^y与y^x的大小，并给出证明过程．

答案

当x＞y＞e时，x^y＜y^x．
证明：构造函数f（x）=

lnx

x

，则f′（x）=

1 x •x-lnx

x2

=

1-lnx

x2

，
∵x＞y＞e，故lnx＞1，
∴f′（x）=

1-lnx

x2

＜0，
∴f（x）=

lnx

x

在（e，+∞）上单调递减，
∴当x＞y＞e时，

lnx

x

＜

lny

y

，
∴ylnx＜xlny，即lnx^y＜lny^x．
∴x^y＜y^x．