题目

题型：不详难度：来源：

在a＞0，b＞0的条件下，四个结论：①(

a+b

2

)2≥ab，②

2ab

a+b

≤

a+b

2

，③

a+b

2

≤

a2+b2 2

，④

b2

a

+

a2

b

≤a+b；其中正确的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

答案

对于②③：因为a＞0，b＞0

2ab

a+b

-

a+b

2

=

4ab-a2-2ab-b2

2(a+b)

=-

(a-b)2

2(a+b)

≤0⇒

2ab

a+b

≤

a+b

2

，
当且仅当a=b时取等号．（5分） (

a+b

2

)2-(

a2+b2 2

)2=

a2+2ab+b2

4

-

a2+b2

2

=

-a2+2ab-b2

4

=-

(a-b)2

4

⇒(

a+b

2

)2-(

a2+b2 2

)2≤0⇒(

a+b

2

)2≤(

a2+b2 2

)2⇒

a+b

2

≤

a2+b2 2

，
当且仅当a=b时取等号．（11分）
综上知：

2ab

a+b

≤

a+b

2

≤

a2+b2 2

，当且仅当a=b时等号成立；
①：由于 (

a+b

2

)2-ab=

a2+b2+2ab

4

=

(a+b)

4

2≥0，成立，故 ①正确．
④：取a=2，b=1，代入可知其不成立．
故选C．