题目

题型：湖北省期中题难度：来源：

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2n²-2n，数列{b_n}的前n项和T_n=3-b_n。
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n·b_n，求数列{c_n}的前n项和R_n的表达式。

答案

解：（1）由题意得a_n=S_n-S_n-1=4n-4（n≥2），
而n=1时a₁=S₁=0也符合上式，
∴a_n=4n-4（n∈N+），
又∵b_n=T_n-T_n-1=b_n-1-b_n，
∴
∴{b_n}是公比为的等比数列，而b₁=T₁=3-b₁，
∴b₁=，
∴b_n=（）^n-1=3·（）ⁿ（n∈N+）；
（2）C_n=a_n·b_n=（4n-4）××3ⁿ=（n-1）ⁿ，
∴R_n=C₁+₂+C₃+…+C_n=²+2·³+3·⁴+…+（n-1）·ⁿ，
∴R_n=³+2·⁴+…+（n-2）ⁿ+（n-1）ⁿ⁺¹，
∴R_n=²+³+⁴+…+ⁿ-（n-1）·ⁿ⁺¹，
∴R_n=1-（n+1）ⁿ。