题目

题型：湖南省期末题难度：来源：

已知等差数列{a_n}中，a₃+a₇＜2a₆且a₃，a₇是方程x²-18x+65=0的两根，数列{b_n}的前项和S_n=1-b_n。
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项的和T_n，并证明。

答案

解：（1）由a₃+a₇=2a₅＜2a₆得a₅＜a₆，
所以数列{a_n}是递增数列
所以a₃＜a₇
由x²-18x+65=0解得a₃=5，a₇=13
公差，
所以a_n=a₃+（n-3）d=2n-1（n∈N*）
由S_n=1-b_n得，当n=1时，；
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1，得
所以{b_n}是首项为，公比为的等比数列，
所以。
（2）证明：由（1）得，
所以由错位相减法得
因为
所以{T_n}是递增数列，所以
故。