题目

题型：江西省月考题难度：来源：

已知数列{a_n}的前n项和S_n=﹣a_n﹣（）^n﹣1+2（n为正整数）．
（1）令b_n=2ⁿa_n，求证数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）令c_n=a_n，若T_n=c₁+c₂+…+c_n，求T_n．

答案

解：（1）在S_n=﹣a_n﹣（）^n﹣1+2中
令n=1可得
S₁=﹣a₁﹣1+2=a₁
即a₁=
当n≥2时，a_n=S_n﹣S _n﹣1=﹣a_n+a _n﹣1+
∴2a_n=a _n﹣1+
即
∵b_n=2ⁿa_n，
∴b_n﹣b _n﹣1=1
即当n≥2时，b_n﹣b _n﹣1=1
又∵b₁=2a₁=1
∴数列{b_n}是首项和公差均为1的等差数列．
∴
∴
（2）由（1）得，
∴…+（n+1）  ①
=2×+3×+4×+…+（n+1）   ②
由①﹣②得
=1+++…+﹣（n+1）=﹣
∴T_n=3﹣