当前位置:高中试题 > 数学试题 > 数列综合 > 数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn+an=-n(n∈N*)恒成立.(1)求数列{an}的通项公式;(2)bn=ln(an+1),求{anbn}的前n项和;(...
题目
题型:香洲区模拟难度:来源:
数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn+an=-n(n∈N*)恒成立.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)bn=ln(an+1),求{anbn}的前n项和;
(3)求证:
1
2a1a2
+
1
22a2a3
+…+
1
2nanan+1
<2
答案
(1)∵Sn+an=-n①
∴n≥2时,Sn-1+an-1=-n+1②
①-②可得2an=an-1-1
∴2(an+1)=an-1+1
又a1=-
1
2
,∴{an+1}是以
1
2
为首项,
1
2
为公比的等比数列
∴an+1=(
1
2
)n
,∴an=(
1
2
)
n
-1;
(2)bn=ln(an+1)=nln
1
2
,∴anbn=[(
1
2
)
n
-1]•nln
1
2

∴{anbn}的前n项和为ln
1
2
[
1
2
+2•(
1
2
)
2
+…+n•(
1
2
)
n
]-
n(n+1)
2
•ln
1
2

令Tn=ln
1
2
[
1
2
+2•(
1
2
)
2
+…+n•(
1
2
)
n
],则
1
2
Tn=ln
1
2
[(
1
2
)
2
+2•(
1
2
)
3
+…+(n-1)•(
1
2
)
n
+n•(
1
2
)
n+1
],
两式相减,可得Tn=ln
1
2
(2-
1
2n-1
-
n
2n

∴{anbn}的前n项和为ln
1
2
(2-
1
2n-1
-
n
2n
)-
n(n+1)
2
•ln
1
2

(3)证明:由(1)知,
1
2nanan+1
=-2(
1
1
2n
-1
-
1
1
2n+1
-1

1
2a1a2
+
1
22a2a3
+…+
1
2nanan+1
=-2(
1
1
21
-1
-
1
1
22
-1
+
1
1
22
-1
-
1
1
3
-1
+…+
1
1
2n
-1
-
1
1
2n+1
-1

=-2(
1
1
21
-1
-
1
1
2n+1
-1
)<2
1
2a1a2
+
1
22a2a3
+…+
1
2nanan+1
<2
核心考点
试题【数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn+an=-n(n∈N*)恒成立.(1)求数列{an}的通项公式;(2)bn=ln(an+1),求{anbn}的前n项和;(】;主要考察你对数列综合等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2(n∈N*),数列{bn}满足b1=1,且点P(bn,bn+1)(n∈N*)在直线y=x+2上.
(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{an•bn}的前n项和Dn
(Ⅲ)设cn=an•sin2
2
-bn•cos2
2
 (n∈N*)
,求数列{cn}的前2n项和T2n
题型:天津模拟难度:| 查看答案
已知等差数列{an}的公差不为零,且a3=5,a1,a2.a5 成等比数列
(I)求数列{an}的通项公式:
(II)若数列{bn}满足b1+2b2+4b3+…+2n-1bn=an且数列{bn}的前n项和Tn 试比较Tn
3n-1
n+1
的大小.
题型:嘉兴一模难度:| 查看答案
设Sn是各项均为非零实数的数列{an}的前n项和,给出如下两个命题上:命题p:{an}是等差数列;命题q:等式
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
=
kn+b
a1an+1
对任意n(n∈N*)恒成立,其中k,b是常数.
(1)若p是q的充分条件,求k,b的值;
(2)对于(1)中的k与b,问p是否为q的必要条件,请说明理由;
(3)若p为真命题,对于给定的正整数n(n>1)和正数M,数列{an}满足条件
a21
+
a2n+1
≤M
,试求Sn的最大值.
题型:盐城二模难度:| 查看答案
已知数列{an}的通项公式为an=
1
n(n+1)
(n∈N+),其前n项和Sn=
9
10
,则直线
x
n+1
+
y
n
=1
与坐标轴所围成三角形的面积为(  )
A.36B.45C.50D.55
题型:太原一模难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x2n+ax的导数f′(x)=2x+3,则数列{
1
f(n)+2
}(n∈N*)
的前n项和是(  )
A.
n
n+1
B.
n-1
2(n+1)
C.
n
2(n+2)
D.
n
(n+1)(n+2)
题型:不详难度:| 查看答案
版权所有 CopyRight © 2012-2019 超级试练试题库 All Rights Reserved.