题目

题型：不详难度：来源：

设数列{a_n}（n∈N^*）的前n项的和为S_n，满足a₁=1，

Sn+1

an+1

-

Sn

an

=

1

2n

（n∈N^*）．
（1）求证：S_n=（2-

1

2n-1

）a_n；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

答案

（1）证明：数列{a_n}（n∈N^*）的前n项的和为S_n，满足a₁=1，

Sn+1

an+1

-

Sn

an

=

1

2n

（n∈N^*）．
所以

S2

a2

-

S1

a1

 =

1

2

，
 

S3

a3

-

S2

a2

=

1

4

；

S4

a4

-

S3

a3

=

1

8

；
…

Sn

an

-

Sn-1

an-1

=

1

2n-1

；
将n-1个式子相加可得：

Sn

an

-

S1

a1

=

1

2

+

1

22

+ 

1

23

+…+

1

2n-1

，
所以

Sn

an

=1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

=

1- 1 2n-1

1- 1 2

=2-

1

2n-1

；
∴S_n=（2-

1

2n-1

）a_n；
（2）因为S_n=（2-

1

2n-1

）a_n；
所以S_n-1=（2-

1

2n-2

）a_n-1；（n≥2）
所以a_n=（2-

1

2n-1

）a_n-（2-

1

2n-2

）a_n-1；可得

1

2

an =an-1，
因为a₂=2，当n=1时，满足数列{a_n}是等比数列公比为2．
所以a_n=2^n-1．