已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=(1+cos2nπ2)an+sin2nπ2，则该数列的前20项的和为______． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_n+2=(1+cos2

nπ

)an+sin2

nπ

，则该数列的前20项的和为______．

答案

由题中条件知，a₁=1，a₂=2，a₃=a₁+1=2，a₄=2a₂+0=4，a₅=a₃+1=3，a₆=2a₄=8…
即其奇数项构成了首项为1，公差为1的等差数列，而其偶数项则构成了首项为2，公比为2的等比数列，
所以该数列的前20项的和为（1+2+3+…+10）+（2+4+8+…+2¹⁰）=2101．
故答案为：2101．

核心考点

试题【已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=(1+cos2nπ2)an+sin2nπ2，则该数列的前20项的和为______．】；主要考察你对数列综合等知识点的理解。[详细]

举一反三

数列{a_n}的通项公式an=

n+1

，则S_n=______．

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已知有穷数列{a_n}只有2k项（整数k≥2），首项a₁=2，设该数列的前n项和为S_n，且Sn=

an+1-2

a-1

(n=1，2，3，…，2k-1)，其中常数a＞1．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若a=2

2k-1

，数列{b_n}满足b_n=log₂a_n，（n=1，2，3，…，2k），Tn=

(b1+b2+b3+…+bn)，求证：1≤T_n≤2．

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复数z=i+i²+i³+i⁴+…+i²⁰⁰⁷+i²⁰⁰⁸+i²⁰⁰⁹的值是______．

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设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知数列{a_n}的各项都为正数，且对任意n∈N^*都有2pS_n=a_n²+pa_n（其中p＞0为常数）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若对任意n∈N^*都有

+…+

＜1成立，求p的取值范围．

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一个公差不为零的等差数列{a_n}共有100项，首项为5，其第1、4、16项分别为正项等比数列{b_n}的第1、3、5项．记{a_n}各项和的值为S．
（1）求S （用数字作答）；
（2）若{b_n}的末项不大于

，求{b_n}项数的最大值N；
（3）记数列{c_n}，c_n=a_nb_n（n∈N*，n≤100）．求数列{c_n}的前n项的和T_n．

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