题目

题型：不详难度：来源：

将数列{a_n}中的所有项按第一排三项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：记表中的第一列数a₁，a₄，a₈，…构成的数列为{b_n}，已知：
①在数列{b_n}中，b₁=1，对于任何n∈N^*，都有（n+1）b_n+1-nb_n=0；
②表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为q（q＞0）的等比数列；

a1   a2   a3 a4   a5   a6   a7 a8   a9   a10  a11  a12 …

③a66=

2

5

．请解答以下问题：
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求上表中第k（k∈N^*）行所有项的和S（k）；
（Ⅲ）若关于x的不等式S(k)+

1

k

＞

1-x2

x

在x∈[

1

200

 ， 

1

20

]上有解，求正整数k的取值范围．

答案

（Ⅰ）由（n+1）b_n+1-nb_n=0，得数列{nb_n}为常数列．故nb_n=1•b₁=1，所以bn=

1

n

．　　　   
（Ⅱ）∵3+4+…+11=63，
∴表中第一行至第九行共含有{a_n}的前63项，a₆₆在表中第十行第三列．　　　     
故a₆₆=b₁₀•q²，而b10=

1

10

，∴q=2． 　　　　　　　　　　　　　　　          　
故S(k)=

bk( 1-qk+2)

1-q

=

1

k

( 2k+2-1 )．　　　　　　　　　　　　　　　　　  　       
（Ⅲ）f(x)=

1-x2

x

=

1

x

-x在x∈[

1

200

 ， 

1

20

]上单调递减，
故f（x）的最小值是f(

1

20

)=20-

1

20

．                                        
若关于x的不等式S(k)+

1

k

＞

1-x2

x

在x∈[

1

200

 ， 

1

20

]上有解，
设m(k)=S(k)+

1

k

=

1

k

•2k+2，则必须m(k)＞20-

1

20

．　　　　　　　　　　　　 
∵m(k+1)-m(k)=

1

k+1

•2k+3-

1

k

•2k+2=

2k+2( k-1 )

k ( k+1 )

≥0（或

m(k+1)

m(k)

=

2k

k+1

≥1）
∴m（1）=m（2）=8，函数m（k）当k≥2且k∈N^*时单调递增．　　　　　　　　　　　　
而m（4）=16，m(5)=

128

5

＞20-

1

20

，所以k的取值范围是大于4的一切正整数．