题目
题型:不详难度:来源:
已知an(n∈N*)是二项式(2+x)n的展开式中x的一次项的系数.
(Ⅰ)求an;
(Ⅱ)是否存在等差数列{bn},使an=b1cn1+b2cn2+b3cn3+…+bncnn对一切正整数n都成立?并证明你的结论.
答案
令r=1可得an=Cnr2n-r=n•2n-1
(II)若存在等差数列{bn},满足已知条件
则当n=1时,b1=a1=1
当n=2时,a2=b1C21+b2C22即4=4=2+b2,所以b2=2
当n=3时,a3=b1C31+b2C32+b3C33即12=3+6+b3,所以b3=3
由上述结果,猜想bn=n
下面证明:当bn=n时,an=b1Cn1+b2Cn2+…+bnCnn对一切正整数n都成立
即证n•2n-1=Cn1+2Cn2+…+nCnn成立
(法一)设S=Cn1+2Cn2+…+nCnn
S=nCnn+(n-1)Cnn-1+…+Cn1
则2S=nCn0+nCn1+…+nCnn=n(Cn0+Cn1+…+Cnn)=n•2n
∴S=n•2n-1
即n•2n-1=Cn1+2Cn2+…+nCnn成立
(法二)∵kCnk=k
n! |
k!(n-k)! |
n! |
(k-1)!(n-k)! |
(n-1)! |
(k-1)![(n-1)-(k-1)]! |
∴Cn1+2Cn2+…+nCnn=n(Cn-10+Cn-11+…+Cn-1n-1)=n•2n-1
综上可得,存在等差数列bn=n满足已知条件.
核心考点
试题【必做题:(本小题满分10分,请在答题指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)已知an(n∈N*)是二项式(2+x)n的展开式中x的一次项的系数】;主要考察你对数列综合等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)设数列{cn}对任意自然数n,均有
c1 |
b1 |
c2 |
b2 |
c3 |
b3 |
cn |
bn |
1 |
2n |
an |
9n |
(Ⅰ)求数列{ bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{|bn|}的前n项和Tn.
A.2100-101 | B.299-101 | C.2100-99 | D.299-99 |
最新试题
- 1设NA为阿伏加德罗常数的数值,下列说法中正确的是A.标准状况下,9g H2O所占的体积为11. 2LB.1 mol OH
- 2电冰箱中有压缩机和照明灯,如果我们注意观察就会发现这样一些现象:压缩机并不是连续不断的工作,当冰箱内的温度达到了设定的低
- 3一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈
- 4下列句子按照句式类型分类完全正确的一项是:(2分)①虽董之以严刑 ②夫晋,何厌之有 ③具告以事
- 5要将转化为应选用的试剂是 A.盐酸B.硫酸C.烧碱D.二氧化碳和水
- 6两个相似三角形的相似比为2:3,那么它们的周长之比为______,它们面积比为______.
- 7近段时间,校车安全事故频频发生,导致无辜学生死伤。2012年4月5日,温家宝总理签署国务院令,公布了《校车安全管理条例》
- 8余秋雨说:“汉字是第一项中华文明长寿的秘密,……它是活着的图腾,永恒的星辰”。右图汉字字体的正确排列顺序是( )A.
- 9若△ABC在正方形网格纸中的位置如图所示,则tanα的值是( )A.22B.12C.32D.1
- 10复数z满足z+1=2+i(i为虚数单位),则z(1-i)=( )A.2B.0C.1+iD.i
热门考点
- 1【题文】随着《舌尖上的中国2》热播,“舌尖体”也在网上蹿红,引发了网友们的造句热潮。请你仿照下列语言格式,为你喜欢的任何
- 2He may not like my visit,but I shall go to see him _________
- 3(原创)气象专家说“暖冬”有利有弊,其弊端主要是容易引起倒春寒,使果树等农作物受冻,授粉不良。气象专家认为“暖冬”有利有
- 423.Mr Brown is____that all of the students respect her.A.suc
- 5古代诗歌阅读(11分)阅读下面这首唐诗,完成下列各题。观斗鸡偶作 韩 偓 何曾解报稻粱恩?金距花冠
- 6浓度为0.1mol/L的某物质的水溶液,且PH=5.1,则此物质应是下列中的[ ]A.H2SO4B.NH4Cl
- 7如图所示,在虚线圆周内有一均匀的磁场,其磁感应强度B正以0.1T/s的变化率减小.在圆周内放一金属圆环(图中实线),使圆
- 8在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中,电火花打点计时器使用的交流电频率为50Hz,记录小车运动的纸带如图所示,在纸
- 9The light is off. They _____. [ ]A. must go to bedB. mus
- 10C60(结构模型如图所示)的发现是化学界的大事之一。C60与金属钾化合生成K3C60,K3C60具有超导性。 (1)碳原