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题目
题型:不详难度:来源:
已知数列{an}中,a1=8,a4=2且满足an+2-2an+1+an=0(n∈N*
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求S20
(3)bn=
4
n(14-an)
Tn=b1+b2+…+bn(n∈N*)
,是否存在最大的整数m,使得对任意n∈N*,均有Tn
m
9
成立?若存在,求出m,若不存在,请说明理由.
答案
(1)∵an+2-2an+1+an=0(n∈N*
∴an+2-an+1=an+1-an
∴{an}为等差数列,
设其公差为d…(1分)
又a1=8,a4=2,∴8+3d=2,∴a1=8,d=-2
∴an=-2n+10         …(3分)
(2)∵an=-2n+10,∴n≤5时,an≥0;n≥6时,an<0…(4分)
∴n≥6时,Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a5-a6-…-an=2(a1+…+a5)-(a1+…+an),
所以Sn=n2-9n+40…(7分)
∴S20=260…(8分)
(3)由(1)可得bn=
4
n(2n+4)
=
1
n
-
1
n+2

则Tn=b1+b2+…+bn=(1-
1
3
)+(
1
2
-
1
4
)+(
1
3
-
1
5
)+…+(
1
n
-
1
n+2
)=1+
1
2
-
1
n+1
-
1
n+2
…(10分)
由Tn为关于n的增函数,故(Tn)min=T1=
2
3

于是欲使Tn
m
9
对n∈N*
恒成立,则
m
9
2
3
,∴m<6
∴存在最大的整数m=5满足题意…(12分)
核心考点
试题【已知数列{an}中,a1=8,a4=2且满足an+2-2an+1+an=0(n∈N*)(1)求数列{an}的通项公式;(2)设Sn=|a1|+|a2|+…+|a】;主要考察你对数列综合等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知数列1,
1
1+2
1
1+2+3
,…,
1
1+2+3+…+n
,…,则其前n项的和等于______.
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数列{an},前n项和Sn,满足a1=
1
2
Sn+2an+1=1(n∈N*)
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{nSn}前n项和Tn
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在数列{an}中,a1=-60,an+1=an+3,则|a1|+|a2|+…+|a30|=(  )
A.-445B.765C.1080D.3105
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设{an}是公差不为零的等差数列,Sn为其前n项和,满足S4=8且a1、a2、a5成等比数列.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{bn}满足:bn-an=2n+1,n∈N*,Tn为数列{bn}的前n项和,问是否存在正整数n,使得Tn=2012成立?若存在,求出n;若不存在,请说明理由.
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已知数列{an}通项为an=ncos(
2
+
π
3
)
,Sn为其前n项的和,则S2012=______.
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