已知数列{an}前n项和为Sn且2an-Sn=2（n∈N*）．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+an（n≥1），求 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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已知数列{a_n}前n项和为S_n且2a_n-S_n=2（n∈N^*）．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁=1，且b_n+1=b_n+a_n（n≥1），求{b_n}通项公式及前n项和T_n．

答案

（Ⅰ）∵2a_n-S_n=2，∴2a_n+1-S_n+1=2
两式相减得2a_n+1-2a_n-（S_n+1-S_n）=0．∴a_n+1=2a_n．
又n=1时，2a₁-S₁=2．∴a₁=2
∴{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列（3分）
∴a_n=a₁q^n-1=2•2^n-1=2ⁿ（6分）
（Ⅱ）∵b_n+1=b_n+a_n，∴b_n+1-b_n=2ⁿ（8分）
∴b₂-b₁=2，b₃-b₂=2²，b₄-b₃=2³，，b_n-b_n-1=2^n-1
相加，b_n-b₁=2+2²+2³++2^n-1，∵b₁=1，
∴b_n=1+2+2²++2^n-1=2ⁿ-1）
即b_n=2ⁿ-1（12分）
∴T_n=（2+2²++2^n-1+2ⁿ）-n=2ⁿ⁺¹-（n+2）（14分）

核心考点

试题【已知数列{an}前n项和为Sn且2an-Sn=2（n∈N*）．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+an（n≥1），求】；主要考察你对数列综合等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知数列2004，2005，1，-2004，-2005，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2010项之和S₂₀₁₀=______．

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设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f(x)=

+log2

1-x

的图象上满足下面条件的任意两点．若

(

)，则点M的横坐标为

．
（1）求证：M点的纵坐标为定植；
（2）若Sn=f(

)+f(

)+…+f(

n-1

)，求S_n（n≥2，n∈N*）．
（3）已知an=

(n=1)

(Sn+1)(Sn+1+1)

(n≥2)

，（其中n∈N^*，又知T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜（15）λ（S_n+1+1）对于一切n∈N^*．都成立，试求λ的取值范围．

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已知数列{a_n}的前4项和等于4，设前n项和为S_n，且n≥2时，an=

(

Sn-1

)，则S₁₀=______．

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设{a_n}是正数数列，其前n项和S_n满足S_n=

（a_n-1）（a_n+3）．
（1）求a₁的值；
（3）求数列{a_n}的通项公式；
（5）对于数列{b_n}，T_n为数列{b_n}的前n项和，令b_n=

，试求T_n的表达式．

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若数列{a_n}满足：a₁=m₁，a₂=m₂，a_n+2=pa_n+1+qa_n（p，q是常数），则称数列{a_n}为二阶线性递推数列，且定义方程x²=px+q为数列{a_n}的特征方程，方程的根称为特征根；数列{a_n}的通项公式a_n均可用特征根求得：
①若方程x²=px+q有两相异实根α，β，则数列通项可以写成a_n=c₁αⁿ+c₂βⁿ，（其中c₁，c₂是待定常数）；
②若方程x²=px+q有两相同实根α，则数列通项可以写成a_n=（c₁+nc₂）αⁿ，（其中c₁，c₂是待定常数）；
再利用a₁=m₁，a₂=m₂，可求得c₁，c₂，进而求得a_n．根据上述结论求下列问题：
（1）当a₁=5，a₂=13，a_n+2=5a_n+1-6a_n（n∈N^*）时，求数列{a_n}的通项公式；
（2）当a₁=1，a₂=11，a_n+2=2a_n+1+3a_n+4（n∈N^*）时，求数列{a_n}的通项公式；
（3）当a₁=1，a₂=1，a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N^*）时，记S_n=a₁C_n¹+a₂C_n²+…+a_nC_nⁿ，若S_n能被数8整除，求所有满足条件的正整数n的取值集合．

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