题目

题型：东莞二模难度：来源：

设S_n为数列{a_n}前n项和，对任意的n∈N^*，都有S_n=2-a_n，数列{b_n}满足bn=

bn-1

1+bn-1

，b₁=2a₁，
（1）求证：数列{a_n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）求数列{

1

an+2bn

}的前n项和T_n．

答案

（本小题满分14分）
证明：（1）当n=1时，a₁=S₁=2-a₁，解得a₁=1．                                …（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=a_n-1-a_n，即2a_n=a_n-1．
∴

an

an-1

=

1

2

(n≥2)．                                                   …（2分）
∴数列{a_n}是首项为1，公比为

1

2

的等比数列，即an=(

1

2

)n-1，n∈N*．     …（4分）
（2）b₁=2a₁=2．                                                           …（5分）
∵bn=

bn-1

1+bn-1

，
∴

1

bn

=

1

bn-1

+1，即

1

bn

-

1

bn-1

=1(n≥2)．                  …（6分）
∴{

1

bn

}是首项为

1

2

，公差为1的等差数列．                                 …（7分）
∴

1

bn

=

1

2

+(n-1)•1=

2n-1

2

，bn=

2

2n-1

…（8分）
（3）∵an+2=(

1

2

)n+1，bn=

2

2n-1

则

1

an+2bn

=2n(2n-1)．             …（9分）
所以Tn=

22

b1

+

23

b2

+

24

b3

+…+

2n

bn-1

+

2n+1

bn

，…（10分）
即Tn=21×1+22×3+23×5+…+2n-1×(2n-3)+2n×(2n-1)，①…（11分）
则2Tn=22×1+23×3+24×5+…+2n×(2n-3)+2n+1×(2n-1)，②…（12分）
②-①得Tn=2n+1×(2n-1)-2-23-24-…-2n+1，…（13分）
故Tn=2n+1×(2n-1)-2-

23(1-2n-1)

1-2

=2n+1×(2n-3)+6．                …（14分）