题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）已知f (x)＝m^x(m为常数，m>0且m≠1)．设f (a₁)，f (a₂)，^…，f (a_n)，^…(n∈N)是首项为m²，公比为m的等比数列．
(1)求证：数列{a_n}是等差数列；
(2)若b_n＝a_n f (a_n)，且数列{b_n}的前n项和为S_n，当m＝3时，求S_n；
(3)若c_n＝ f(a_n) lg f (a_n)，问是否存在m，使得数列{c_n}中每一项恒不小于它后面的项？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

答案

 解：　(1)由题意f (a_n)＝m²·m^n-1，即ma_n＝mⁿ⁺¹.
∴a_n＝n＋1，∴a_n＋1－a_n＝1，∴数列{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列．
(2)由题意b_n＝a_n f (a_n)＝(n＋1)·mⁿ⁺¹，
当m＝3时，b_n＝(n＋1)·3ⁿ⁺¹，∴S_n＝2·3²＋3·3³＋4·3⁴＋^…＋(n＋1)·3ⁿ⁺¹①
①式两端同乘以3得，3S_n＝2·3³＋3·3⁴＋4·3⁵＋^…＋n·3ⁿ⁺¹＋(n＋1)·3ⁿ⁺²②
②－①并整理得，
2S_n＝－2·3²－3³－3⁴－3⁵－^…－3ⁿ⁺¹＋(n＋1)·3ⁿ⁺²＝－3²－(3²＋3³＋3⁴＋^…＋3ⁿ⁺¹)＋(n＋1)·3ⁿ⁺²
＝－3²－＋(n＋1)·3ⁿ⁺²＝－9＋ (1－3ⁿ)＋(n＋1)·3ⁿ⁺²＝(n＋)3ⁿ⁺²－.
∴S_n＝(2n＋1)3ⁿ⁺²－.
(3)由题意c_n＝f (a_n)·lg f (a_n)＝mⁿ⁺¹·lgmⁿ⁺¹＝(n＋1)·mⁿ⁺¹·lgm，
要使c_n≥c_n＋1对一切n∈N^*成立，即(n＋1)·mⁿ⁺¹·lgm≥(n＋2)·mⁿ⁺²·lgm，对一切n∈N^*成立，
① 当m>1时，lgm>0，所以n＋1≥m(n＋2)，即m≤对一切n∈N^*成立，
因为＝1－的最小值为，所以m≤，与m>1不符合，即此种情况不存在.
②当0<m<1时，lgm<0，所以n＋1≤m(n＋2)，即m≥对一切n∈N^*成立，所以≤m<1.
综上，当≤m<1时，数列{c_n}中每一项恒不小于它后面的项

解析

略