题目

题型：模拟题难度：来源：

已知二次函数y=x²，现取x轴上的点，分别为A₁(1，0)，A₂(2，0)，A₃(3，0)，…，A_n(n，0)，…，过这些点分别作x轴垂线，与抛物线分别交于A′₁，A′₂，A′₃，…，A′_n…，记由线段A′_nA_n，A_nA_n+1，A_n+1A′_n+1及抛物线弧A′_n+1A′_n所围成的曲边梯形的面积为a_n，
(Ⅰ)求数列{a_n}的通项公式；
(Ⅱ)作直线y=与A′_nA_n(n =1，2，3，…)交于B_n，记新的曲边梯形A′_nB_nB_n+1A′_n+1，面积为b_n，求的前n项和S_n；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，作直线y=x，与A′_nA_n(n=1，2，3，…)交于C_n，记Rt△C_n+1A_n+1A_n面积与曲边梯形A′_nB_nB_n+1A′_n+1面积之比为P_n，求证：P₁+。

答案

解：(Ⅰ)；
(Ⅱ)依题意，，
，
∴，
∴，
∴。
(Ⅲ)记直角三角形C_n+1A_n+1A_n面积为d_n，
则，
∴，
∴，
原式即证：，
用数学归纳法证明：
①当n=1时，左边=1，右边=lna，左边＞右边，命题成立；
②假设n=k（k≥1，k∈N*）时，命题成立，
即，
当n=k+1时，，
下证：

构造函数，
，∴f（x）在单调递增，
所以当时，，∴x＞ln（1+x），
∵，
∴，
故命题对n=k+1时也成立，
由①②得，对任意n∈N*都成立，故原命题成立。