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题目
题型:模拟题难度:来源:
已知二次函数y=x2,现取x轴上的点,分别为A1(1,0),A2(2,0),A3(3,0),…,An(n,0),…,过这些点分别作x轴垂线,与抛物线分别交于A′1,A′2,A′3,…,A′n…,记由线段A′nAn,AnAn+1,An+1A′n+1及抛物线弧A′n+1A′n所围成的曲边梯形的面积为an
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)作直线y=与A′nAn(n =1,2,3,…)交于Bn,记新的曲边梯形A′nBnBn+1A′n+1,面积为bn,求的前n项和Sn
(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,作直线y=x,与A′nAn(n=1,2,3,…)交于Cn,记Rt△Cn+1An+1An面积与曲边梯形A′nBnBn+1A′n+1面积之比为Pn,求证:P1+
答案

解:(Ⅰ)
(Ⅱ)依题意,




(Ⅲ)记直角三角形Cn+1An+1An面积为dn



原式即证:
用数学归纳法证明:
①当n=1时,左边=1,右边=lna,左边>右边,命题成立;
②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,命题成立,

当n=k+1时,
下证:

构造函数
,∴f(x)在单调递增,
所以当时,,∴x>ln(1+x),


故命题对n=k+1时也成立,
由①②得,对任意n∈N*都成立,故原命题成立。

核心考点
试题【已知二次函数y=x2,现取x轴上的点,分别为A1(1,0),A2(2,0),A3(3,0),…,An(n,0),…,过这些点分别作x轴垂线,与抛物线分别交于A′】;主要考察你对数列综合等知识点的理解。[详细]
举一反三
数列的一个通项公式是 [     ]
A、
B、
C、
D、
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数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式是[     ]
A、
B、
C、
D、
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数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,求a2,a3,a4,a5,并归纳出an
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求下列数列的一个通项公式:
(1)3,5,9,17,33,…;
(2)1,0,,0,,0,,0,…;
(3)
(4)1,3,6,10,15,21,…。
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黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:
则第n个图案中有白色地面砖(    )块.
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