题目

题型：高考真题难度：来源：

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=c-。
（1）设c=，b_n=，求数列{b_n}的通项公式；
（2）求使不等式a_n＜a_n+1＜3成立的c的取值范围。

答案

解：（1）
，即
又，故
所以是首项为，公比为4的等比数列
，；
（2）a₁=1，a₂=c-1，由a₂>a₁得c>2
用数学归纳法证明：当c>2时，a_n＜a_n+1
 （i）当n=1时，a₂=c->a₁，命题成立；
（ii）设当n=k时，a_k＜a_k+1，则当n=k+1时

故由（i）（ii）知当c>2时，a_n＜a_n+1
当c>2时，令
由得a_n＜α
当时，a_n＜α≤3
当时，α>3，且1≤a_n＜a，于是

当时，α-a_n+1＜α-3，a_n+1>3
因此不符合要求
所以c的取值范围是。