题目

题型：湖北省高考真题难度：来源：

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足：a₁=a(a≠0)，a_n+1=rS_n(n∈N*，r∈R，r≠-1)，
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)若存在k∈N*，使得S_k+1，S_k，S_k+2成等差数列，试判断：对于任意的m∈N*，且m≥2，a_m+1，a_m，a_m+2是否成等差数列，并证明你的结论．

答案

解：(1)由已知，可得，
两式相减可得，即，
又a₂=ra₁=ra，
所以当r=0时，数列{a_n}为：a，0，…，0，…；
当r≠0，r≠-1时，由已知a≠0，所以a_n≠0(n∈N*)，
于是由，可得，
∴a₂，a₃，…，a_n，…成等比数列，
∴当n≥2时，，
综上，数列{a_n}的通项公式为；
(2)对于任意的m∈N*，且m≥2，成等差数列．
证明如下：当r=0时，由(1)知，
∴对于任意的m∈N*，且m≥2，成等差数列；
当r≠0，r≠-1时，
∵，
若存在k∈N*，使得成等差数列，则，
∴，即，
由(1)知，a₂，a₃，…，a_n，…的公比r+1=-2，
于是对于任意的m∈N*，且m≥2，a_m+1=-2a_m，
从而，
∴，即成等差数列．
综上，对于任意的m∈N*，且m≥2，成等差数列．