题目

题型：同步题难度：来源：

已知函数，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）；
数列{b_n}满足，，其中S_n为数列{b_n}前n项和，n=1，2，3…
（1）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（2）设，证明T_n＜5．

答案

解：（1）∵f（x）=，
∴，
∴，
∴是以为首项，以2为公差的等差数列，
∴ 
∴，
又∵，，
∴，b_n+2=2S_n+1+1，
∴b_n+2﹣b_n+1=2（S_n+1﹣S_n），
∴b_n+2=3b_n+1，
∴，b₂=2S₁+1=2，
∴{b_n}从第二项起成等比数列，公比为3，
∴．
（2）证明：依题意，
令，

①+…+，

② ①﹣②，得+…+
=3+2×
∴，∴
=5﹣＜5．
即T_n＜5．