题目

题型：重庆市模拟题难度：来源：

对于数列{a_n}，若存在一个常数M，使得对任意的n∈N*，都有|a_n|≤M，则称{a_n}为有界数列，
(1)判断a_n=2+sinn是否为有界数列，并说明理由；
(2)是否存在正项等比数列{a_n}，使得{a_n}的前n项和S_n构成的数列{S_n}是有界数列？若存在，求数列{a_n}的公比q的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)判断数列(n≥2)是否为有界数列，并证明．

答案

解：(1)因为1≤a_n=2+sinn≤3，所以{a_n}为有界数列；
(2)设公比为q，当0＜q＜1时，，
则正数数列{S_n}满足，故为有界数列；
当q=1时，S_n=na₁，故为无界数列；
当q＞1时，S_n=a₁+a₂+…+a_n＞na₁，此时为无界数列；
综上，当且仅当0＜q＜1时，{S_n}为有界数列。
(3){a_n}为无界数列，证明如下：
，
∴，
∴

，
∴，
故当n无限增大时，a_n也无限增大，所以{a_n}为无界数列。