题目

题型：天津高考真题难度：来源：

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N*，
（Ⅰ）证明数列{a_n-n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）证明不等式S_n+1≤4S_n，对任意n∈N*皆成立．

答案

（Ⅰ）证明：由题设，
得，n∈N*，
又，
所以数列{a_n-n}是首项为1，公比为4的等比数列。
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，
于是数列{a_n}的通项公式为，
所以数列{a_n}的前n项和；
（Ⅲ）证明：对任意的n∈N*，

，
所以不等式，对任意n∈N*皆成立．