题目

题型：专项题难度：来源：

已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项a_n满足（q是常数且q>0，q≠1）。
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当时，试证明；
（3）设函数f（x）=log_qx，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），是否存在正整数m，使对n∈N*都成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）由题意，
，得
 
∴a₁=q
当n≥2时，



∴
∴数列{a_n}是首项a₁=q，公比为q的等比数列，故。
（2）由（1）知当时，
，
∵
∴
即。
（3）∵f（x）=log_qx
∴


∴
∴


由，得

∵（*）对都成立，
∴
∵m是正整数，
∴m的值为1，2，3
∴使对都成立的正整数m存在，其值为1，2，3。