题目

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}和{b_n}的通项公式分别为a_n=2ⁿ，b_n=3n+2，它们的公共项由小到大排成的数列记为{c_n}，则数列{c_n}的通项公式是
c_n=______．

答案

∵a_n=2ⁿ，
∴数列{a_n}是以2首项，公比为2的等比数列，
∴a₁=2．a₂=4．a₃=8
知a₁、a₂显然不是数列{b_n}中的项．
∵a₃=8=3×2+2，
∴a₃是数列{b_n}中的第2项，
设a_k=2^k是数列{b_n}中的第m项，则2^k=3m+2（k、m∈N^*）．
∵a_k+1=2^k+1=2×2^k=2（3m+2）=3（2m+1）+1，
∴a_k+1不是数列{b_n}中的项．
∵a_k+2=2^k+2=4×2^k=4（3m+2）=3（4m+2）+2，
∴a_k+2是数列{b_n}中的项．
∴c₁=a₃，c₂=a₅，c₃=a₇，…，c_n=a_2n+1，
∴数列{c_n}的通项公式是c_n=2²ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
故答案为：2²ⁿ⁺¹．