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题目
题型:韶关一模难度:来源:
已知数列bn前n项和Sn=
3
2
n2-
1
2
n
.数列an满足
3an

=4-(bn+2)
(n∈N*),数列cn满足cn=anbn
(1)求数列an和数列bn的通项公式;
(2)求数列cn的前n项和Tn
(3)若cn
1
4
m2+m-1
对一切正整数n恒成立,求实数m的取值范围.
答案
(1)由已知和得,当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=(
3
2
n2-
1
2
n)-(
3
2
(n-1)2-
1
2
(n-1))=3n-2
(2分)
又b1=1=3×1-2,符合上式.故数列bn的通项公式bn=3n-2.(3分)
又∵
3an

=4-(bn+2)
,∴an=4-
(bn+2)
3
=4-
(3n-2)+2
3
=(
1
4
)n

故数列an的通项公式为an=(
1
4
)n
,(5分)
(2)cn=anbn=(3n-2)•(
1
4
)n
Sn=1×
1
4
+4×(
1
4
)2+7×(
1
4
)3++(3n-2)×(
1
4
)n
,①
1
4
Sn=1×(
1
4
)2+4×(
1
4
)3+7×(
1
4
)4++(3n-5)×(
1
4
)n+(3n-2)×(
1
4
)n+1
,②
①-②得
3
4
Sn=
1
4
+3×[(
1
4
)2+(
1
4
)3+(
1
4
)4++(
1
4
)n]-(3n-2)×(
1
4
)n+1
=
1
4
+3×
(
1
4
)
2
[1-(
1
4
)
n-1
]
1-
1
4
-(3n-2)×(
1
4
)n+1
=
1
2
-(3n+2)×(
1
4
)n+1

Sn=
2
3
-
12n+8
3
×(
1
4
)n+1
. (10分)
(3)∵cn=(3n-2)•(
1
4
)n

cn+1-cn=(3n+1)•(
1
4
)n+1-(3n-2)•(
1
4
)n=(
1
4
)n•[
3n+1
4
-(3n-2)]
=-9•(
1
4
)n+1(n-1)

当n=1时,cn+1=cn;当n≥2时,cn+1≤cn,∴(cn)max=c1=c2=
1
4

cn
1
4
m2+m-1
对一切正整数n恒成立,则
1
4
m2+m-1≥
1
4
即可,
∴m2+4m-5≥0,即m≤-5或m≥1. (14分).
核心考点
试题【已知数列bn前n项和Sn=32n2-12n.数列an满足3an=4-(bn+2)(n∈N*),数列cn满足cn=anbn.(1)求数列an和数列bn的通项公式;】;主要考察你对等比数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
设数列{an}是公差不为0的等差数列,Sn为其前n项和,数列{bn}为等比数列,且a1=b1=2,S2=5b2,S4=25b3
(I)求数列{an}和{bn}的通项公式an及bn
(II)设数列{cn}满足cn=bnSn,问当n为何值时,cn取得最大值?
题型:不详难度:| 查看答案
在正项等比数列{an}中,a1a3+2a2a4+a2a6=9,则 a2+a4═______.
题型:不详难度:| 查看答案
设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-2,S4=4S2,则a3的值为______.
题型:不详难度:| 查看答案
设数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=an+1-2n+1+1,(n∈N*),且a1=1.
(Ⅰ)求a2,a3的值;
(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅲ)设数列{bn}的前n项和为Tn,且bn=
an+1-1
an+1+2
,证明:对一切正整数n,都有:n-
3
2
Tn<n-
1
4
题型:不详难度:| 查看答案
在△ABC中,三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且a,c分别为等比数列{an}的a1、a2,不等式-x2+6x-8>0的解集为{x|a<x<c},则数列{an}的通项公式为______.
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