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题目
题型:不详难度:来源:
等差数列{an}是递增数列,前n项和为Sn,且a1,a2,a5成等比数列,S5=a32
(1)求{an}的通项公式.
(2)求证:对于任意的正整数m,l,数列am,am+l,am+2l都不可能为等比数列.
(3)若对于任意给定的正整数m,都存在正整数l,使数列am,am+l,am+kl为等比数列,求正常数k的取值集合.
答案
(1)由等差数列{an}是递增数列,可设{an}的公差为d(d>0),
∵a1,a2,a5成等比数列,S5=a32





a22=a1a5
5a3=a32

解得





a1=1
d=2
,∴an=2n-1.
(2)假设存在正整数m,l,使数列am,am+l,am+2l为等比数列,
则am+l2=amam+2l,而an=2n-1,
∴[2(m+l)-l]2=(2m-1)[2(m+2l)-l],
解得l=0,与l为正整数矛盾,故假设不成立,
对于任意的正整数m,l,数列am,am+l,am+2l都不可能为等比数列.
(3)∵am=2m-1,am+l=2m+2l-1,am+kl=2m+2kl-1,
数列am,am+l,am+kl为等比数列的充要条件是(2m+2l-1)2=(2m-1)(2m+2kl-1),
∴4(2m-1)l+4l2=(2m-1)2kl,
∵l为正整数,∴2(2m-1)+2l=(2m-1)k,
即(2m-1)(k-2)=2l,
对于任意给定的正整数m,2m-1为奇数,而2l为偶数,
∴k-2为偶数,
记k-2=2t(t∈N+),
即k=2+2t,t∈N+
此时l=(2m-1)t∈N+
综上所述,正整数k的取值集合为{k|k=2+2t,t∈N*}.
核心考点
试题【等差数列{an}是递增数列,前n项和为Sn,且a1,a2,a5成等比数列,S5=a32(1)求{an}的通项公式.(2)求证:对于任意的正整数m,l,数列am,】;主要考察你对等比数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
数列{an}为等比数列,且a1+a2=1,a3+a4=4,则a5+a6=______.
题型:韶关一模难度:| 查看答案
设等比数列{an}的前n项和为Sn.若a1=1,S6=4S3,则a4=______.
题型:不详难度:| 查看答案
在等比数列{an}中,a2a10=6,a2+a10=5,则
a18
a10
=______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知数列{an}满足,a1=1,a2=2,an+2=
an+an+1
2
,n∈N×
(1)令bn=an+1-an,证明:{bn}是等比数列;
(2)求{an}的通项公式.
题型:陕西难度:| 查看答案
若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{an}是公比为q的无穷等比数列,下列{an}的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第______组.(写出所有符合要求的组号)
①S1与S2;②a2与S3;③a1与an;④q与an.(其中n为大于1的整数,Sn为{an}的前n项和.)
题型:上海难度:| 查看答案
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