当前位置:高中试题 > 数学试题 > 等比数列 > 已知数列{an}的前n项和为Sn.且满足Sn=2an-1(n∈N+)(I)求证:数列{an}是等比数列;(II)数列{bn}满足bn+1.=an+bnn∈N+....
题目
题型:不详难度:来源:
已知数列{an}的前n项和为Sn.且满足Sn=2an-1(n∈N+
(I)求证:数列{an}是等比数列;
(II)数列{bn}满足bn+1.=an+bnn∈N+.且b1=3.若不等式log2(bn-2)
3
16
n2+t
对任意n∈N+恒成立,求实数t的取值范围.
答案
( I)证明:依题意可得Sn+1=2an+1-1…①,Sn=2an-1…②
①-②,得an+1=2an+1-2an
化简得
an+1
an
=2(n∈N*)

∵a1=2a1-1,
∴a1=1
∴数列{an}是以1为首项,公比为2的等比数列.
(II)由(Ⅰ)可知an=2n-1,因为bn+1=an+bn,n∈N+.且b1=3,
所以bn=an-1+bn-1=an-1+an-2+bn-2=…=an-1+an-2+…+a1+b1
=2n-2+2n-3+…+1+3=2n-1+2,
因为不等式log2(bn-2)
3
16
n2+t
对任意n∈N+恒成立,
所以log2(2n-1+2-2)
3
16
n2+t

即t>-
3
16
n2+n-1
,对任意n∈N+恒成立,
因为-
3
16
n2+n-1≤
5
16
,且n=3时-
3
16
n2+n-1
取得最大值
5
16

所以t
5
16

所以实数t的取值范围:(
5
16
,+∞)
核心考点
试题【已知数列{an}的前n项和为Sn.且满足Sn=2an-1(n∈N+)(I)求证:数列{an}是等比数列;(II)数列{bn}满足bn+1.=an+bnn∈N+.】;主要考察你对等比数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an+n2-3n-2,n=1,2,3….
(Ⅰ)求证:数列{an-2n}为等比数列;
(Ⅱ)设bn=an•cosnπ,求数列{bn}的前n项和Pn
(Ⅲ)设cn=
1
an-n
,数列{cn}的前n项和为Tn,求证:Tn
37
44
题型:肥城市模拟难度:| 查看答案
已知无穷等比数列{an}的前n项和为Sn,各项的和为S,且
lim
n→∞
(Sn-2S)=1
,则其首项a1的取值范围是(  )
A.(-1,0)∪(0,1)B.(-2,-1)∪(-1,0)C.(0,1)∪(1,2)D.(-2,0)∪(0,2)
题型:上海模拟难度:| 查看答案
已知函数f(x)(x∈R,x≠
1
a
)
满足ax•f(x)=2bx+f(x),a≠0,f(1)=1;且使f(x)=2x成立的实数x只有一个.
(Ⅰ)求函数f(x)的表达式;
(Ⅱ)若数列{an}满足a1=
2
3
,an+1=f(an),bn=
an
1-an
,n∈N*,证明数列{bn}是等比数列,并求出{bn}的通项公式.
题型:不详难度:| 查看答案
等比数列{an}是递减数列,其前n项积为Tn,若T10=16T6,则a6•a11=(  )
A.±2B.±4C.2D.4
题型:不详难度:| 查看答案
一个有穷等比数列的首项为1,项数为偶数,如果其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求此数列的公比和项数.
题型:不详难度:| 查看答案
版权所有 CopyRight © 2012-2019 超级试练试题库 All Rights Reserved.