已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋1，设bn＝an＋1－2an.证明：数列{bn}是等比数列． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁＝1，S_n_＋1＝4a_n＋1，设b_n＝a_n_＋1－2a_n.证明：数列{b_n}是等比数列．

答案

见解析

解析

由于S_n_＋1＝4a_n＋1，①　当n≥2时，S_n＝4a_n_－1＋1.②
①－②，得a_n_＋1＝4a_n－4a_n_－1.
所以a_n_＋1－2a_n＝2(a_n－2a_n_－1)．
又b_n＝a_n_＋1－2a_n，所以b_n＝2b_n_－1.因为a₁＝1，且a₁＋a₂＝4a₁＋1，即a₂＝3a₁＋1＝4.所以b₁＝a₂－2a₁＝2，故数列{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列．

核心考点

试题【已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋1，设bn＝an＋1－2an.证明：数列{bn}是等比数列．】；主要考察你对等比数列等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知等比数列{a_n}是递增数列，S_n是{a_n}的前n项和，若a₁，a₃是方程x²－5x＋4＝0的两个根，则S₆＝________．

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已知数列{a_n}的首项a₁＝2a＋1(a是常数，且a≠－1)，
a_n＝2a_n_－1＋n²－4n＋2(n≥2)，数列{b_n}的首项b₁＝a，
b_n＝a_n＋n²(n≥2)．
(1)证明：{b_n}从第2项起是以2为公比的等比数列；
(2)设S_n为数列{b_n}的前n项和，且{S_n}是等比数列，求实数a的值；
(3)当a>0时，求数列{a_n}的最小项．

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求下面数列的前n项和：
1