题目

题型：不详难度：来源：

在各项均为正数的等比数列{a_n}中，已知a₂＝2a₁＋3，且3a₂，a₄，5a₃成等差数列．
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)设b_n＝log₃a_n，求数列{a_nb_n}的前n项和S_n.

答案

（1）3ⁿ，n∈N（2）S_n＝

解析

(1)设{a_n}公比为q，由题意得q>0，
且解得 (舍)，
所以数列{a_n}的通项公式为a_n＝3·3^n－1＝3ⁿ，n∈N^．
(2)由(1)可得b_n＝log₃a_n＝n，所以a_nb_n＝n·3ⁿ.
所以S_n＝1·3＋2·3²＋3·3³＋…＋n·3ⁿ，
所以3S_n＝1·3²＋2·3³＋3·3⁴＋…＋n·3^n＋1，
两式相减得，2S_n＝－3－(3²＋3³＋…＋3ⁿ)＋n·3^n＋1＝－(3＋3²＋3³＋…＋3ⁿ)＋n·3^n＋1＝－＋n·3^n＋1＝，
所以数列{a_nb_n}的前n项和S_n＝.