题目

题型：不详难度：来源：

（13分）（2011•重庆）设{a_n}是公比为正数的等比数列a₁=2，a₃=a₂+4．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a_n+b_n}的前n项和S_n．

答案

（Ⅰ）a_n=2×2^n﹣1=2ⁿ（Ⅱ）2n﹣1        2ⁿ⁺¹﹣2+n²=2ⁿ⁺¹+n²﹣2

解析

试题分析：（Ⅰ）由{a_n}是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a₁=2，a₃=a₂+4可求得q，即可求得{a_n}的通项公式
（Ⅱ）由{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列 可求得b_n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，然后利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可求得数列{a_n+b_n}的前n项和S_n．
解：（Ⅰ）∵设{a_n}是公比为正数的等比数列
∴设其公比为q，q＞0
∵a₃=a₂+4，a₁=2
∴2×q²="2×q+4" 解得q=2或q=﹣1
∵q＞0
∴q="2"
∴{a_n}的通项公式为a_n=2×2^n﹣1=2ⁿ
（Ⅱ）∵{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列
∴b_n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1
∴数列{a_n+b_n}的前n项和S_n=+=2ⁿ⁺¹﹣2+n²=2ⁿ⁺¹+n²﹣2
点评：本题考查了等比数列的通项公式及数列的求和，注意题目条件的应用．在用等比数列的前n项和公式时注意辨析q是否为1，只要简单数字运算时不出错，问题可解，是个基础题．