题目
题型:不详难度:来源:
(1)求,,,的值;
(2)猜想的表达式,并加以证明。
答案
解析
试题分析:(1)由条件,当时,有,解得,同理当分别取2,3,4可得,,的值;(2)由(1)中前四项的值可猜想,由得,两式相减并化为,则是等比数列,求出通项公式,可得的通项公式.
解:(1)因为,, (1分)
所以,当时,有,解得; (2分)
当时,有,解得; (3分)
当时,有,解得; (4分)
当时,有,解得.(5分)
(2)猜想() (9分)
方法一:
由(),得(), (10分)
两式相减,得,即().(11分)
两边减2,得, (12分)
所以{}是以-1为首项,为公比的等比数列,
故, (13分)
即(). (14分)
方法二:
①当n=1时,由(1)可知猜想显然成立; (10分)
②假设当n=k时,猜想成立,即, (11分)
由(),得,
两式相减,得, (12分)
所以,
即当n=k+1时,猜想也成立. (13分)
根据①和②,知对任意,猜想成立.(14分)
核心考点
举一反三
(1)若数列{an}是“J2型”数列,且a2=8,a8=1,求a2n;
(2)若数列{an}既是“J3型”数列,又是“J4型”数列,证明:数列{an}是等比数列.
(1)求证:;
(2)设,求数列{bn}的前n项和Tn.
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