题目

题型：不详难度：来源：

已知向量，n∈N^*，向量与垂直，且a₁＝1.
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)若数列{b_n}满足b_n＝log₂a_n＋1，求数列{a_n·b_n}的前n项和S_n.

答案

(1);(2)．

解析

试题分析：
解题思路：(1)利用得出数列的递推式，即得数列是等比数列，求通项即可；（2）利用错位相减法求和.
规律总结：以平面向量为载体考查数列问题，体现了平面向量的工具性，要灵活选择向量知识；数列求和的方法主要有：倒序相加法、裂项抵消法、分组求和法、错位相减法.
试题解析：(1)∵向量p与q垂直，
∴2ⁿa_n＋1－2^n＋1a_n＝0，即2ⁿa_n＋1＝2^n＋1a_n，
∴＝2，∴{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n＝2^n－1.
(2)∵b_n＝log₂a_n＋1，∴b_n＝n，∴a_n·b_n＝n·2^n－1，
∴S_n＝1＋2·2＋3·2²＋4·2³＋…＋n·2^n－1，①
∴2S_n＝1·2＋2·2²＋3·2³＋4·2⁴＋…＋n·2ⁿ，②
①－②得，
－S_n＝1＋2＋2²＋2³＋2⁴＋…＋2^n－1－n·2ⁿ
＝－n·2ⁿ＝(1－n)2ⁿ－1，
∴S_n＝1＋(n－1)2ⁿ.