题目

题型：北京模拟题难度：来源：

在数列{a_n}和{b_n}中，已知a_n=aⁿ，b_n=(a+1)n+b，n=l，2，3，…，其中a≥2且a∈N*，b∈R．
(Ⅰ)若a₁=b₁，a₂＜b₂，求数列{b_n}的前n项和；
(Ⅱ)证明：当a=2，b=时，数列{b_n}中的任意三项都不能构成等比数列；
(Ⅲ)设集合A={a₁，a₂，a₃，…}，B={b₁，b₂，b₃，…}．试问在区间[1，a]上是否存在实数b使得C=A∩B≠，若存在，求出b的一切可能的取值及相应的集合C；若不存在，说明理由。

答案

解：(Ⅰ)因为a₁=b₁，所以a=a+1+b，b=-1，
由a₂＜b₂，得a₂-2a-1＜0， 所以1-＜a＜1+，
因为a≥2且a∈N*，所以a=2，所以bn=3n-1，{b_n}是等差数列，
所以数列{bn}的前n项和。
(Ⅱ)由已知b_n=3n+，
假设3m+，3n+，3t+成等比数列，其中m，n，t∈N*，且彼此不等，
则（3m+）²=（3m+）（3t+），
所以9n²+6n+2=9mt+3m+3t+2，
所以3n²-3mt=(m+t-2n)，
若m+t-2n=0，则3n²-3mt=0，可得m=t，与m≠t矛盾；
若m+l-2n≠0，则m+t-2n为非零整数，(m+t-2n)为无理数，
所以3n²-3mt为无理数，与3n²-3mt是整数矛盾，
所以数列{bn}中的任意三项都不能构成等比数列。
(Ⅲ)设存在实数b∈[1，a]，使C=A∩B≠，
设m₀∈C，则m₀∈A，且m₀∈B，
设m₀=a^t(t∈N*)，m₀=（a+1）s+b(s∈N*)，
则a^t=（a+1）s+b，所以，
因为a，t，s∈N*，且a＞2，所以a^t-b能被a+1整除，
(1)当t=1时，因为b∈[1，a]，a-b∈[0，a-1]，所以，；
(2)当t=2n(n∈N*)时，
，
由于b∈[1，a]，b-1∈[0，a-1]，0≤b-1＜a+1，
所以，当且仅当b=1时，a^t-b能被a+1整除；
(3)当t=2n+1(n∈N*)时，

，
由于b∈[1，a]，b+1∈[2，a+1]，
所以，当且仅当b+1=a+1，即b=a时，a^t-b能被a+1整除；
综上，在区间[1，a]上存在实数b，使C=A∩B≠成立，
且当b=1时，C={y|y=a²ⁿ，n∈N*}；
当b=a时，c={y|y=a²ⁿ⁺¹，n∈N*}。