题目

题型：山东省高考真题难度：来源：

设{a_n}是公比大于1的等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和．已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．
(Ⅰ)求数列{a_n}的通项；
(Ⅱ)令b_n=lna_3n+1，n=1，2，…，求数列{b_n}的前n项和T_n．

答案

解：(Ⅰ)由已知得：，解得a₂=2，
设数列{a_n}的公比为q，由a₂=2，可得，
又S₃=7，可知，即2q²-5q+2=0，解得，
由题意得q＞1，∴q=2，
∴a₁=1，
故数列{an}的通项为a_n=2^n-1。
(Ⅱ)由于b_n=lna_3n+1，n=1，2，…，
由(Ⅰ)得a_3n+1=2³ⁿ，
∴b_n=ln2³ⁿ=3nln2，
又b_n+1-b_n=31n2，
∴{b_n}是等差数列，
∴，
故。