题目
题型:江西省高考真题难度:来源:
(I)证明数列{an}中有无穷多项为无理数;
(Ⅱ)当n为何值时,an为整数,并求出使an<200的所有整数项的和。
答案
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取
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用反证法证明这些an都是无理数
假设
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故
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与
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所以
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即数列{an}中有无穷多项为无理数;
(Ⅱ)要使an为整数,由(an-1)(an+1)=24(n-1)可知an-1,an+1同为偶数,且其中一个必为3的倍数
所以有an-1=6m或an+1=6m
当an=6m+1时,有an2=36m2+12m+1=1+12m(3m+1) (m∈N),又m(3m+1)必为偶数,所以an=6m+1(m∈N)满足an2=1+24(n-1)
即
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同理an=6m-1(m∈N*)有a2n=36m2-12m+1=1+12m· (3m-1)(m∈N*)
也满足an2=1+24(n-1)
即
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显然an=6m-1(m∈N*)和an=6m+1(m∈N)是数列中的不同项
所以当
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由an=6m+1<200(m∈N)有0≤m≤33
由an=6m-1<200(m∈N*)有1≤m≤33
设an中满足an<200的所有整数项的和为S,则
S=(5+11+…+197)+(1+7+13+…+199)
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核心考点
试题【正实数数列{an}中,a1=1,a2=5,且{an2}成等差数列。 (I)证明数列{an}中有无穷多项为无理数; (Ⅱ)当n为何值时,an为整数,并求出使an&】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
(I)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=(4-an)qn-1(q≠0,n∈N*),求数列{bn}的前n项和Sn。
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